一.平面短路径

　　“平面内连结两点的线中，直线段短。”

　　在求短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的短距离问题，而两点之间直线段短，从而找到所需的短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法

　　【例题】 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报.在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线节省时间。

　　【解析】要选择节省时间的路线就是要选择短路线.

　　作点A关于河岸的对称点 A′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸相交，连接A′B交河岸于一点O，这时O点就是饮马的好位置，连接 OA，此时 OA+OB就是侦察员应选择的短路线

　　二.空间短路径

　　想求相邻两个平面上的两点之间的短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的短路线.

　　【例题】长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离短?

　　【解析】因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 D′B间的短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有三条路线供选择.

　　①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上，这时在这个平面上D′、B间的短路线距离就是连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形ABD′的斜边，根据勾股定理，D′B2=D′A2+AB2=(1+2)2+42=25，∴D′B=5.

　　②从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点.将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的短路线，有：D′B2=22+(1+4)2=29.

　　③从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的短路线，D′B2=(2+4)2+12=37.

　　比较三条路线，显然情形①中的路线短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点的路线是短路线，它的长度是5个单位长度.

　　只要在做题时分析清楚题意，找准短路线，类似的题目都能得到相应的解决。

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