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　　在排列组合中，有三种特别常用的方法：捆绑法、插空法、插板法。

　　一、捆绑法

　　精要：所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素

　　视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。

　　提醒：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。

　　【例题】有10 本不同的书：其中数学书4 本，外语书3 本，语文书3 本。若将这些书排成

　　一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种。

　　解析：这是一个排序问题，书本之间是不同的，其中要求数学书和外语书都各自在一起。为

　　快速解决这个问题，先将4 本数学书看做一个元素，将3 本外语书看做一个元素，然后和剩下的

　　3 本语文书共5 个元素进行统一排序，方法数为，然后排在一起的4 本数学书之间顺序不同也对

　　应很后整个排序不同，所以在4 本书内部也需要排序，方法数为，同理，外语书排序方法数为。

　　而三者之间是分步过程，故而用乘法原理得。

　　【例题】5 个人站成一排，要求甲乙两人站在一起，有多少种方法?

　　解析：先将甲乙两人看成1 个人，与剩下的3 个人一起排列，方法数为，然后甲乙两个人也

　　有顺序要求，方法数为，因此站队方法数为。

　　【练习】一台晚会上有6 个演唱节目和4 个舞蹈节目，4 个舞蹈节目要排在一起，有多少不

　　同的安排节目的顺序?

　　注释：运用捆绑法时，一定要注意捆绑起来的整体内部是否存在顺序的要求，有的题目有顺

　　序的要求，有的则没有。如下面的例题。

　　【例题】6 个不同的球放到5 个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种

　　方法?

　　解析：按照题意，显然是2 个球放到其中一个盒子，另外4 个球分别放到4 个盒子中，因此

　　方法是先从6 个球中挑出2 个球作为一个整体放到一个盒子中，然后这个整体和剩下的4 个球分

　　别排列放到5 个盒子中，故方法数是。

　　二、插空法

　　精要：所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再

　　将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。

　　提醒：首要特点是不邻，其次是插空法一般应用在排序问题中。

　　【例题】若有A、B、C、D、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须不站在一起，则有多少

　　排队方法?

　　解析：题中要求AB 两人不站在一起，所以可以先将除A 和B 之外的3 个人排成一排，方法

　　数为，然后再将A 和B 分别插入到其余3 个人排队所形成的4 个空中，也就是从4 个空中挑出

　　两个并排上两个人，其方法数为，因此总方法数。

　　【例题】8 个人排成一队，要求甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种方法?

　　解析：甲乙相邻，可以捆绑看作一个元素，但这个整体元素又和丙不相邻，所以先不排这个

　　甲乙丙，而是排剩下的5 个人，方法数为，然后再将甲乙构成的整体元素及丙这两个元素插入到

　　此前5 人所形成的6 个空里，方法数为，另外甲乙两个人内部还存在排序要求为。故总方法数为。

　　【练习】5 个男生3 个女生排成一排，要求女生不能相邻，有多少种方法?

　　注释：将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置。

　　【例题】若有A、B、C、D、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须不站在一起，且A 和B

　　不能站在两端，则有多少排队方法?

　　解析：原理同前，也是先排好C、D、E 三个人，然后将A、B 查到C、D、E 所形成的两个

　　空中，因为A、B 不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为。

　　注释：对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。

　　三、插板法

　　精要：所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需

　　分组数目少1 的板插入元素之间形成分组的解题策略。

　　提醒：其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。

　　【例题】将8 个完全相同的球放到3 个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有

　　多少种方法?

　　解析：解决这道问题只需要将8 个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。

　　因此问题只需要把8 个球分成三组即可，于是可以讲8 个球排成一排，然后用两个板查到8 个球

　　所形成的空里，即可顺利的把8 个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一

　　个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个

　　盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是。

　　(板也是无区别的)

　　【例题】有9 颗相同的糖，每天至少吃1 颗，要4 天吃完，有多少种吃法?

　　解析：原理同上，只需要用3 个板插入到9 颗糖形成的8 个内部空隙，将9 颗糖分成4 组且

　　每组数目不少于1 即可。因而3 个板互不相邻，其方法数为。

　　【练习】现有10 个完全相同的篮球全部分给7 个班级，每班至少1 个球，问共有多少种不

　　同的分法?

　　注释：每组允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解法的区别。

　　【例题】将8 个完全相同的球放到3 个不同的盒子中，一共有多少种方法?

　　解析：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧

　　是插入2 个板，分成三组。但在分组的过程中，允许两块板之间没有球。其考虑思维为插入两块

　　板后，与原来的8 个球一共10 个元素。所有方法数实际是这10 个元素的一个队列，但因为球之

　　间无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从10 个元素所占的10 个位置中挑2 个位置放上2

　　个板，其余位置全部放球即可。因此方法数为。

　　注释：特别注意插板法与捆绑法、插空法的区别之处在于其元素是相同的。

　　四、具体应用

　　【例题】一条马路上有编号为1、2、……、9 的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏

　　关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种?

　　解析：要关掉9 盏灯中的3 盏，但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先将要关掉的3 盏灯拿

　　出来，这样还剩6 盏灯，现在只需把准备关闭的3 盏灯插入到亮着的6 盏灯所形成的空隙之间即

　　可。6 盏灯的内部及两端共有7 个空，故方法数为。

　　【例题】一条马路的两边各立着10 盏电灯，现在为了节省用电，决定每边关掉3 盏，但为

　　了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。问总共可以有

　　多少总方案?

　　A、120B、320C、400D、420

　　解析：考虑一侧的关灯方法，10 盏灯关掉3 盏，还剩7 盏，因为两端的灯不能关，表示3

　　盏关掉的灯只能插在7 盏灯形成的6 个内部空隙中，而不能放在两端，故方法数为，总方法数为。

　　注释：因为两边关掉的种数肯定是一样的(因为两边是同等地位)，而且总的种数是一边的种

　　数乘以另一边的种数，因此关的方案数一定是个平方数，只有C 符合。

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