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在数量关系中，有一类排列组合问题被称为“爬楼梯”问题。题目描述如下：有n阶台阶，每次可以登a阶或者b阶，问要登上第n阶台阶一共有多少种方法。这种题目，很多同学不明白其中的道理，遇到之后都无从下手，今天河北华图就带领大家来梳理此类问题的具体解法。

一、母题演示

 

 

12阶台阶，每次可以登上1阶或者2阶，请问有多少种走法?

A.233 B.300 C.350 D.364

思考：从最后的爬楼梯状态入手，要想登上第12阶，我们可以从第11阶登一步，也可以从第10阶登两步，均可以达到目的。也就是说，登上第12阶的方法可以分成两类，表示成S(12)=S(11)+S(10)，其中S(12)为爬上12阶的总方法，S(11)为爬上11阶的总方法。同理S(11)=S(10)+S(9)。

以此类推，本题的解题递推公式就是S(n)=S(n-1)+S(n-2)。接下来只需要通过枚举法求出S(1)=1、S(2)=2即可。

下面对此类问题的解决方法进行总结：

①通过分析最后爬楼梯的状态，确定递推公式;②通过枚举求出前若干项;③通过画表格求出答案。

二、举一反三

例1：12阶台阶，每次可以登上1阶或者3阶台阶，请问有多少种走法?

【解析】：第一步：分析最后的状态，可以分为从11阶登一步上去，或者从第9阶登三步上去两大类，所以S(12)=S(11)+S(9)，以此类推，S(n)=S(n-1)+S(n-3);

第二步：枚举S(1)=1、S(2)=1,、S(3)=2;

第三步：画表格求答案。

 

 

例2：12阶台阶，每次可以登上1阶或者2阶或者3阶台阶，请问有多少种走法?

【解析】：第一步：分析最后的状态，可以从11阶登一步上去，或者从第10阶登二步上去，还可以从第9阶登3步上去，共计三类，所以S(12)=S(11)+S(10)+S(9)，以此类推，S(n)=S(n-1)+S(n-2)+S(n-3);

第二步：枚举S(1)=1、S(2)=2、S(3)=4;

第三步：画表格求答案。

 

 

通过以上几道题目，大家会发现，爬楼梯问题是加法原理的基本应用，所以只要我们明白了其中的道理，学会基本步骤，就可以快速解决这一类问题。

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