一笔画问题的规律

发布时间：2020-01-06 13:12:33 河北公务员考试网来源：华图教育

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　　也就是“一笔画”。一笔画图形的

　　必要条件是：奇点数目是0或者2。图⑴的“七桥问题”A,B,C,D都是奇节点，数目是4，所以不能够“一笔画”。　我们把节点转换回来，成为“节面”(区域)，来考虑“一笔画”。[1]

　　例子：

　　在平面中，4个或者4个以下的区域可以构成两两相连的区域，可以一笔画。图⑵。每个区域必须是单连通的，就是一个区域不能够是分成2块或者2块以上。图⑶就不是单连通的。这是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有两两相同的5个区域。紧致封闭平面，在一个轮胎状的表面，7个或者7个以下的区域可以构成两两相连的区域。可以“一笔划”。把图(A)上下对折以后，再左右对折，形成一个轮胎状，7个区域两两相连。

　　上下对折再左右对折成轮胎形状图A

　　两两相连的区域可以不经过其它区域到达任何一个区域。P。J希伍德以毕生精力研究四色定理，并且证明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面着色问题提出一个推测：在有P>1个洞的封闭曲面上，足以为任何地图着色的最小数等于(左图上下对折再左右对折就是一个轮胎，7个区域两两相连，可以一笔画)。

　　一笔画的规律

　　数学家欧拉找到一笔画的规律是：

　　⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能

　　图B的平面图(4张)

　　以这个点为终点画完此图。

　　⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

　　⒊其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二可以算出此图至少需几笔画成。)

　　比如附图：(a)为⑴情况，因此可以一笔画成;(b)(c)(d)则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。

　　相关名词含义

　　◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。

　　◎奇顶点：指数为奇数的顶点。

　　◎偶顶点：指数为偶数的顶点

　　欧拉图

　　先定义能一笔画出并回到起点的图为欧拉图，连通就是说任意两个节点之间可以找到一条连接它们的线。这个要求看来很重要，直观方法中与这一点对应的是说原图本身不能是分成多个的。

　　设G为一欧拉图，那么G显然是连通的。另一方面，由于G本身为一闭路径，它每经过一个顶点一次，便给这一顶点增加度数2，因而各顶点的度均为该路径经历此顶点的次数的两倍，从而均为偶数。反之，设G连通，且每个顶点的度均为偶数，欲证G为一欧拉图。为此，对G的边数归纳。当m = 1时，G必定为单结点的环，显然这时G为欧拉图。设边数少于m的连通图，在顶点度均为偶数时必为欧拉图，现考虑有m条边的图G。设想从G的任一点出发，沿着边构画，使笔不离开

　　图且不在构画过的边上重新构画。由于每个顶点都是偶数度，笔在进入一个结点后总能离开那个结点，除非笔回到了起点。在笔回到起点时，它构画出一条闭路径，记为H。从图G中删去H的所有边，所得图记为G’，G’未必连通，但其各顶点的度数仍均为偶数.考虑G的各连通分支，由于它们都连通，顶点度数均为偶数，而边数均小于m，因此据归纳假设，它们都是欧拉图。此外，由于G连通，它们都与H共有一个或若干个公共顶点，因此，它们与H一起构成一个闭路径。这就是说，G是一个欧拉图。

　　一笔画定理

　　1736年，欧拉证实：七桥问题的走法根本不存在。同时，他发表了“一笔画定理”：一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件:

　　图形是联通的;

　　图形中的奇点(与奇数条边相连的点)个数为0或2;

　　欧拉的研究开创了数学上的新分支――图形与几何拓扑。

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