一笔画问题的数学解释
发布时间:2020-01-06 13:40:24 河北公务员考试 来源:华图教育
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1 问题的提出
2 一笔画定理
2.1 定理一
2.2 定理二
3 例子
3.1 七桥问题
3.2 一个可以一笔画的例子
4 一笔画问题与哈密顿问题
5 参见
6 参考来源
问题的提出
一笔画问题是柯尼斯堡问题经抽象化后的推广,是图遍历问题的一种。在柯尼斯堡问题中,如果将桥所连接的地区视为点,将每座桥视为一条边,那么问题将变成:对于一个有着四个顶点和七条边的连通图 G(S,E),能否找到一个恰好包含了所有的边,并且没有重复的路径。欧拉将这个问题推广为:对于一个给定的连通图,怎样判断是否存在着一个恰好包含了所有的边,并且没有重复的路径?这就是一笔画问题。用图论的术语来说,就是判断这个图是否是一个能够遍历完所有的边而没有重复。这样的图现称为欧拉图。这时遍历的路径称作欧拉路径(一个圈或者一条链),如果路径闭合(一个圈),则称为欧拉回路[1]。
一笔画问题的推广是多笔画问题,即对于不能一笔画的图,探讨最少能用多少笔来画成。
一笔画定理
对于一笔画问题,有两个判断的准则,它们都由欧拉提出并证明[1]。
定理一
有限图 G 是链或圈的充要条件是:G为连通图,且其中奇顶点的数目等于0或者2。有限连通图 G 是圈当且仅当它没有奇顶点[2]。
证明[2][3]:
必要性:如果一个图能一笔画成,那么对每一个顶点,要么路径中“进入”这个点的边数等于“离开”这个点的边数:这时点的度为偶数。要么两者相差一:这时这个点必然是起点或终点之一。注意到有起点就必然有终点,因此奇顶点的数目要么是0,要么是2。
充分性:
如果图中没有奇顶点,那么随便选一个点出发,连一个圈 C1。如果这个圈就是原图,那么结束。如果不是,那么由于原图是连通的,C1 和原图的其它部分必然有公共顶点s1。从这一点出发,在原图的剩余部分中重复上述步骤。由于原图是有限图,经过若干步后,全图被分为一些圈。由于两个相连的圈就是一个圈,原来的图也就是一个圈了。
如果图中有两个奇顶点 u 和 v,那么加多一条边将它们连上后得到一个无奇顶点的有限连通图。由上知这个图是一个圈,因此去掉新加的边后成为一条链,起点和终点是 u 和 v。
定理二
如果有限连通图 G 有2k个奇顶点,那么它可以用 k 笔画成,并且至少要用 k 笔画成[2]。
证明[2][3]:将这2k个奇顶点分成 k 对后分别连起,则得到一个无奇顶点的有限连通图。由上知这个图是一个圈,因此去掉新加的边后至多成为 k 条链,因此必然可以用 k 笔画成。但是假设全图可以分为 q 条链,则由定理一知,每条链中只有两个奇顶点,于是 。因此必定要 k 笔画成。
例子
图一:无法一笔画
图二:尽管按照中文书写习惯“串”字不止一笔,但它可以一笔写成。 七桥问题
右图一是七桥问题抽象化后得到的模型,由四个顶点和七条边组成。注意到四个顶点全是奇顶点,由定理一可知无法一笔画成。
一个可以一笔画的例子
图二是中文“串”字抽象化后得到的模型。由于只有最上方和最下方的顶点是奇顶点,由定理一知它可以一笔画成。
一笔画问题与哈密顿问题
一笔画问题讨论的是能否不重复地遍历一个图的所有边,至于其中有否顶点的遍历或重复经过则没有要求。哈密顿问题讨论的则是顶点的遍历:能否不重复地遍历一个图的所有顶点?[4]哈密顿问题由哈密顿在1856年首次提出,至今尚未完全解决[2]。
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