多集合反向构造问题在近年云南省考试中有所涉及。题目看起来有点像容斥问题，但与容斥问题的问法却不同。又有点像最不利构造问题，但在题型匹配上和普通的最不利问题的特征却不符。这类多集合反向构造问题看似很复杂，但只要掌握了其特点、原理及方法，其实是可以做到快速解题的。

　　题型特征：看提问方式“都……至少……”

　　答题思路：两面三刀。所谓两面就是从正反两面求解;所谓三刀就是三个解题步骤。

　　解题方法：

　　方法一：反向构造求解

　　第一步：反向。找到题目中的反面情况。

　　第二步：加和。所有反面情况加和。

　　第三步：做差。总数减去所有反面情况加和。

　　方法二：正面求解

　　核心提示：至少的反面是至多，都……的反面是不都……

　　假设总数为M，其中第一个集合为A，第二个集合为B，第三个集合为C，第四个集合为D。则不满足A,B,C,D集合分别为M-A，M-B，M-C，M-D。因此不满足任何一个集合最多有M-(M-A)-(M-B)-(M-C)-(M-D)。整理得(A+B+C+D)-3M。

　　同理可得：若有三个集合则公式为：A+B+C -2M。

　　若有五个集合则公式为：A+B+C+D+E-4M。

　　提示：集合个数不一定都是四个或者三个，我们只需要将集合数值加和减去(集合个数-1)乘以总数即可。

　　【例1】阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有()本。

　　A.5 B.10

　　C.15 D.30

　　【答案】A

　　【解析】本题是标准的“多集合反向构造”问题，出现了“都……至少……”的题目特征。

　　方法一：反向构造求解

　　第一步：反向。找到题目中的反面情况。问的是“共同借阅过的杂志最少”，反面是“都没有借阅过的杂志数最多”，分别求出没有借阅的数量是25、30、40本。

　　第二步：加和。所有反面情况加和。三人都未借阅的杂志最多为25+30+40=95本。

　　第三步：做差。总数减去所有反面情况加和。三人共同借阅的杂志最少有100-95=5本。

　　方法二：正面求解

　　本题一共有三个集合直接采用正面三个集合的公式：A+B+C -2M。即：75+70+60-2×100=5

　　【例2】有100名员工去年和今年均参加考核，考核结果分为优、良、中、差四个等次。今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍。今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点。问两年考核结果均为优的人数至少为多少人?

　　A.55 B.65

　　C.75 D.85

　　【答案】B

　　【解析】首先判别题型，问题为“问两年考核结果均为优的人数至少为多少人?”，出现了“都……至少……”的题目特征。

　　方法一：反向构造求解

　　第一步：反向。求出两年考核结果不为优的人数。本题中未直接给出人数。根据题意“今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍”，设去年考核为优有x人，今年为1.2x人。题中“今年为今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点”，则今年考核结果为优的比去年高了15个百分点，两年的总人数均为100，即今年考核结果为优的增加了100×15%=15(人)。即1.2x-x=15，解出x=75，则去年为优的有75人，今年为优的有90人。那么，去年考核不为优的有25人，今年不为优的有10人。

　　第二步：加和。两年考核结果不为优的人数最多为25+10=35人。

　　第三步，做差。两年考核结果均为优的人数至少为100-35=65人。

　　方法二：正面求解

　　本题中未直接给出人数。根据题意“今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍”，设去年考核为优有x人，今年为1.2x人。题中“今年为今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点”，则今年考核结果为优的比去年高了15个百分点，两年的总人数均为100，即今年考核结果为优的增加了100×15%=15(人)。即1.2x-x=15，解出x=75，则去年为优的有75人，今年为优的有90人。

　　本题一共有两个集合直接采用正面两个集合的公式：A+B -M。即：75+90-100=65。

　　多集合反向构造类问题是数学运算中较为简单的题目，大家只要清晰的辨认题型，了解解题思路及常用的做题方法，就可以达到快速准确解题的效果。

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