约数和倍数是大家从小学开始就接触的概念，我们一起来回顾一下，若整数除以正整数除得的商正好是整数而没有余数，则称为的倍数，称为的约数。提到约数和倍数，考查最多的还有最大公约数和最小公倍数这两个概念，那什么是最大公约数呢?最大公约数也称为最大公因数，最大公约数就是几个数公有的因数中最大的一个。最小公倍数即几个数的公共的倍数中最小的公倍数。在了解这两个概念之后最重要的是我们要回求几个数的最大公约数和最小公倍数。常用的求解最大公约数和最小公倍数的方法有质因数分解法和短除法。

　　质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

　　例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，(24，60)=12。

　　把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

　　例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。

　　短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

　　短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。

　　短除法的本质就是质因数分解法，只是将质因数分解用短除符号来进行。

　　短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止(两个数互质)。

　　而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。

　　求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。

　　【例1】把144张卡片平均分成若干盒，每盒在10张到40张之间，则共有( )种不同的分法。

　　A. 4 B. 5C. 6 D. 7

　　【解析】】根据题意，把144 张卡片平均分成若干盒可知，即问144 这个数在10 至40 之间的约数有几个，即可以整除144 的数有几个。由于144=2×2×2×2×3×3，那么可得10～40 中144 的约数有12、16、18、24、36 这5 个，即144 能被这5 个数整除，所以有5 种分法。选择B。

　　【例4】甲、乙、丙三个办公室的职工参加植树活动，三个办公室人均植树分别为4、5、6棵，三个办公室植树总数彼此相等。问这三个办公室总共至少有多少职工?( )

　　A. 37 B. 53C. 74D. 106

　　【解析】职工要最少，即所植树要最少，即为4、5、6 的最小公倍数60 棵，职工分别为15、12、10，所以职工数最少37 人，选择A。

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