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　　容斥问题就是我们高中时所学的集合问题，在国考中每隔一两年考查一次，每次考查的难度中等。但有时会设置一些小的陷阱加大难度，这就要求我们在做题的过程中一定要审清题。那么在解答容斥问题时无论是公式法还是图示法本质都是剔除重复的部分，如果掌握好这一点，无论容斥问题怎么变化我们解答起来就会游刃有余。下面我们通过几道题来体会一下容斥原理的解题方法。

　　1. 两集合问题

　　两集合问题的基本公式为：A+B-AB=总数-都不满足的情况数

　　【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有( )。

　　A. 27人 B. 25人

　　C. 19人 D. 10人

　　【解析】根据题意可知为两集合问题根据公式可得40+31-X=50-4解得X=25。因此，本题答案为B。

　　深度解析：本题重复的部分为物理和化学实验均正确的人数即为本题所求。40+31为正确的人次数剔除掉重复的部分X即为实验正确的人数，而50-4即为实验正确的人数，因此亦能得出等式40+31-X=50-4。

　　【例2】工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2:1，两天的活动都报名参加的为只报名参加周日活动的人数的50%，问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的?( )

　　A. 20% B. 30%

　　C. 40% D. 50%

　　【解析】根据题意可知本题属于两集合问题，但根据题干给出的数据不能用公式直接求解。设只报名参加周日的人数为2则，两天都报名参加的人数为1，由此可以得出报名参加周日的人数为3，则报名参加周六的人数为6，则报名的人数为8，未报名参加的人数为2，只报名周六的人数为5。因此，未报名参加的人数为只报名参加周六人数的2÷5=40%。因此，本题答案为C。

　　深度解析：本题未给出具体数值，需要我们在做题的过程中赋值，本题中的重复部分为两天都报名的人数，通过剔除两天都报名的才能求出只报名周六和未报名的人数。

　　2. 三集合问题

　　1) 三集合问题的标准公式为：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不满足的情况

　　【例3】某公司招聘员工，按规定每人至多可报考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为( )。

　　A. 7人 B. 8人

　　C. 5人 D. 6人

　　【解析】根据题意可知为三集合问题，由于没人至多报考两个职位，所以报考三个职位的人数为0，根据公式可得22+16+25-8-6-X+0=42-0解得X=7。因此，本题答案为A。

　　深度解析：三集合的重复的部分较为复杂，对于本题来说重复部分报考重复一次的有三部分，分别为8，6和X，而剔除掉重复的部分即可得到上述等式。

　　2) 三集合问题的非标准公式为：A+B+C-X-2Y=总数-都不满足的情况(其中X为只满足两个条件;Y为满足三个条件)

　　【例4】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷?( )

　　A.310 B.360

　　C.390 D.410

　　【解析】根据题意可知为两集合问题根据公式可得179+146+246-24-2×115 =X-52解得X=369。又由于问卷的回收率为90%，则总的问卷数为369÷90%=410。因此，本题答案为D。

　　深度解析：本题重复的部分为重复一次的部分为24人，重复两次的部分为115人，剔除重复部分即为上述的等式。另外本题在解答的过程中一定要注意问卷的回收率为90%，还需要再计算一步方可得出正确答案。

　　通过上述几道关于两集合和三集合的题目，我们可以看出这些题目均可以用相应的公式解答出来，但在考试的过程中可能会由于涉及的公式较多或情绪紧张导致公式不能从大脑中及时提取出来，此时只要把握住在容斥原理当中剔除重复部分也可以把式子列出来，并且能够应对公式之外的一些题目。总之，容斥原理是数量关系中的一个难点，需要我们深入理解才能熟练运用。

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