一、核心提示与解题技巧

　　分数数列是指以分数为主体，但规律却以分数的分子、分母为主体的数列形式。数列中出现分数并不意味着一定是分数数列。有少量分数(式)的数列，通常还可能是负幂次数列、多级做商数列、递推积商数列、递推倍数数列等。反之，分数数列中也可能会出现一些整数。

　　解答分数数列常会用到以下技巧：

　　观察特征：第一步可先观察分数数列是否具备一定的明显的外在特征。

　　分组看待：以分数线为分组标志，分别观察分子数列、分母数列的规律得到结果。

　　约分：将非很简分数化成很简分数。

　　广义通分：将分母(或分子)化成相同的数。

　　有 理 化：当分数的分子(分母)中含有根式时，对其进行分子(分母)有理化。

　　反 约 分：将分子或分母扩大适当的倍数，以使数列呈现较为明显的规律。

　　整 化 分：将数列中的整数化成分母为“1”或其他数值的分数的形式。

　　二、典型试题精讲

　　【例1】 -25，15，-8750，()。

　　A. 8375B. 9375C. 7375D. 11375

　　【解析】 本题正确答案为D。将数列各项化为：-410，15，-8750，()375。分母分成2组：(-10，5)和(-750，375)，前项是后项的-2倍。而分子4，1，8，(11)头尾相减后得：11-4=8-1=7。所以正确答案为11375。

　　【例2】 1，()，17，113，121。

　　A. 0B. 1C. 12D. 13

　　【解析】 本题正确答案为D。原数列可写为“11，()，17，113,121”，则知每个分数的分子都为1，设()=1x，则分母可构成数列“1，x，7,13,21”，该数列为二级等差数列，即：1,1+2,3+4,7+6,13+8，故x为3，()=13，选D。

　　【例3】 154，53,1516,35，()。

　　A. 314B. 512C. 511D. 37

　　【解析】 本题正确答案为B。对原数列的分子进行通分，使分子都等于15，可得1522，1532,1542,1552，由此可知空缺项应为1562，即512。故选B。

　　【例4】 628，2198，1884，942，()。

　　A. 1256B. 1244C. 2560D. 2578

　　【解析】 本题正确答案为A。分数数列。将这个数列的各个分数都化简，即可发现答案。

　　628=314，2198=314，1884=314，942=314，A项化简也为314，故应选A。

　　【例5】 12，35，813，2134，()。

　　A. 3897B. 3889C. 5589D. 5597

　　【解析】 本题正确答案为C。本题数列的规律为：从第二项开始，每一项的分子为前一项的分子与分母之和，分母为前一项的分母与自身分子之和。由此可推出空缺项的分子为21+34=55，分母为34+55=89，即5589。故选C。

　　【例6】 0，73，225，457，769，()。

　　A. 12B. 13C. 10311D. 11511

　　【解析】 本题正确答案为D。分组观察：分母是等差数列，分子是二级等差数列。

　　【例7】 1，12，611，1729，2338，()。

　　A. 122199B. 117191C. 3147D. 2845

　　【解析】 本题正确答案为A。可将原数列变为11,24,611,1729,4676，则分子=前一项分子+前一项分母，分母=分子+前一项分母+1，故()的分子为46+76=122，分母为122+76+1=199，选A。

　　【例8】 2，1，1，12，14，()。

　　A. 16B. 18C. 116D. 120

　　【解析】 本题正确答案为C。数列从第三项开始，每一项等于前两项积的12。空缺项=12×14×12=116。

　　【例9】 23，14，215，112，235，()。

　　A. 132B. 332C. 124D. 526

　　【解析】 本题正确答案为C。分子通分：23，28，215，224，235，(248)=124。分母为二级等差数列。

　　【师资点评】 当分数的分子很容易化为同一个数时，将分子通分。

　　【例10】 12，1，78，58，1332，()。

　　A. 14B. 1564C. 1164D. 764

　　【解析】 本题正确答案为A。

　　反 约 分：12，44，78，1016，1332，()，故()=1664=14。

　　【师资点评】 “反约分”是指同时扩大数列当中某些分数的分子与分母(分数大小不变)，从而使得分数的分子数列与分母数列形成简单数列。“反约分”数列是分数数列中很具技巧的一类，也是现在分数数列命题的一个方向。

　　【例11】 25，37，410，614，820，1228，()。

　　A. 22456B. 1432C. 2048D. 1640

　　【解析】 本题正确答案为D。奇数项：分子，2，4，8，(16)，等比数列;

　　分母，5，10，20，(40)，等比数列。

　　偶数项：分子，3，6，12，等比数列;

　　分母，7，14，28，等比数列。

　　【例12】 0，16，38，12，12，()。

　　A. 513B. 713C. 512D. 712

　　【解析】 本题正确答案为C。反约分得：05，16，38，612，1020，分子：0，1，3，6，10为二级等差数列，所求数分子为15;分母：5，6，8，12，20为差后等比数列，所求数分母为36，故空缺项应为1536=512。

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